来源：‣（第一章｜随机信号处理 → 1.2 多元高斯：协方差矩阵和它的逆别混淆）

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1.2 多元高斯：协方差矩阵和它的逆别混淆

若 $\mathbf X$ 是 d 维联合高斯实随机向量，均值向量为 $\boldsymbol\mu$，协方差矩阵 $\Sigma$ 正定，则：

$$ f_{\mathbf X}(\mathbf x)= \frac{\exp\!\left[-\frac12(\mathbf x-\boldsymbol\mu)^T\Sigma^{-1}(\mathbf x-\boldsymbol\mu)\right]} {(2\pi)^{d/2}|\Sigma|^{1/2}}. $$

均值与协方差能完全确定联合高斯分布；对一般分布，一、二阶矩不足以确定 PDF。若 Σ 奇异，仍可有退化高斯分布，但没有上述普通 d 维密度。

对二维变量：

$$ \Sigma= \begin{bmatrix} \sigma_X^2&\rho\sigma_X\sigma_Y\\ \rho\sigma_X\sigma_Y&\sigma_Y^2 \end{bmatrix}, \qquad |\rho|<1. $$

$$ \Sigma^{-1}= \frac{1}{\sigma_X^2\sigma_Y^2(1-\rho^2)} \begin{bmatrix} \sigma_Y^2&-\rho\sigma_X\sigma_Y\\ -\rho\sigma_X\sigma_Y&\sigma_X^2 \end{bmatrix}. $$

原笔记的负号矩阵混淆了这两者：协方差矩阵的非对角元是协方差；逆矩阵出现负号，并交换对角位置、乘上行列式的倒数。

联合高斯下，“不相关”能推出“独立”；仅各自边缘分布高斯，不保证联合高斯，也就不能直接这样推断。核对资料：NIST 多元正态分布、Statlect 联合正态的常见误区。