来源：‣（第二章｜匹配滤波器理论 → 1. 先看懂本章在优化什么）
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课件第 4–6、8 页。已知确定性信号 $s(t)$，观测中叠加零均值宽平稳噪声 $n(t)$，通过线性时不变滤波器：
$$ x(t)=s(t)+n(t),\qquad y(t)=x(t)*h(t)=s_o(t)+n_o(t). $$
本章最大化的是采样时刻的信号瞬时功率 ÷ 输出噪声平均功率：
$$ \eta(t_0)=\frac{|s_o(t_0)|^2}{\mathbb E\{|n_o(t_0)|^2\}} =\frac{|s_o(t_0)|^2}{\sigma_{n_o}^2}. $$
最后一个等号用到了噪声零均值。分母不是某一次噪声样本的平方，也不是整段噪声的能量。
和维纳滤波的区别：匹配滤波希望检测时的峰值更突出；维纳滤波希望估计波形的均方误差更小。匹配滤波的输出通常是相关峰，不是原波形的复原。
为避免课件中噪声常数 $N_0$ 与输出功率谱符号混淆，这里统一用 $\Phi_n(\omega)$ 表示输入噪声功率谱密度，等同于课件的 $N(\omega)$；用下标 o 表示输出。
| 符号 | 含义 |
|---|---|
| $S(\omega),\,H(\omega)$ | 信号的傅里叶变换、滤波器频率响应 |
| $\Phi_n(\omega)$ | 噪声双边功率谱密度，不是噪声样本的傅里叶变换 |
| $N_0/2$ | 按本课件约定的白噪声双边功率谱密度 |
| $E_s,\ T,\ t_0$ | 信号能量、脉冲持续时间、设计的输出采样时刻 |
| $(\cdot)^*,\ *,\ k$ | 上标星号为复共轭，中间星号为卷积；k 为非零比例常数 |
采用角频率傅里叶变换约定：
$$ S(\omega)=\int_{-\infty}^{\infty}s(t)e^{-j\omega t}\,dt,\qquad s(t)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}S(\omega)e^{j\omega t}\,d\omega. $$
$$ E_s=\int_{-\infty}^{\infty}|s(t)|^2dt =\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}|S(\omega)|^2d\omega. $$