来源：‣（第三章｜最佳检测准则 → 1. 二元假设检验）

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1. 二元假设检验

观察随机变量（也可为随机向量）$x$，确定两种假设：

$$ H_0:\ x\sim f_0(x)=p(x\mid H_0),\qquad H_1:\ x\sim f_1(x)=p(x\mid H_1). $$

先验概率$\pi_0=P(H_0)$、$\pi_1=P(H_1)$，且$\pi_0+\pi_1=1$。设$\Gamma_0$为判$H_0$的观测区域，$\Gamma_1$为判$H_1$的区域。

三种关键条件概率（连续型写为积分，离散型改为求和）：

$$ \begin{aligned} P_{FA}&=P(\text{判 }H_1\mid H_0)=\int_{\Gamma_1}f_0(x)\,dx,\\ P_D&=P(\text{判 }H_1\mid H_1)=\int_{\Gamma_1}f_1(x)\,dx,\\ P_M&=P(\text{判 }H_0\mid H_1)=1-P_D. \end{aligned} $$

虚警$P_{FA}$：无目标却说有；漏检$P_M$：有目标却说无；检测概率$P_D$：有目标且正确发现。注意它们的定义不包含先验概率。

课件增补｜二元简单假设与复合假设

依据《第三章_信号检测理论_P1_JWang-v1》PDF 第 5–6、8、20–30 页补充：

• “二元”只指有 $H_0,H_1$ 两种假设。
• 简单假设：每个假设都完全指定观测的概率分布。例如已知 $\sigma^2$ 时 $H_0:X\sim\mathcal N(0,\sigma^2)$、$H_1:X\sim\mathcal N(1,\sigma^2)$。
• 复合假设：至少一个假设对应一族分布。例如 $H_0:\mu=0$、$H_1:\mu>0$，且 $X\sim\mathcal N(\mu,\sigma^2)$。未知参数既可为未知确定量，也可按先验建模为随机量；课件第 5 页的“随机参量”是常见情形而非复合假设的必要条件。
• 其他参数如方差若也未知，必须计入复合性；不能只看均值是否写成一个固定数字。

检验构造差异

简单-简单检验在给定虚警约束下由 Neyman–Pearson 似然比检验给出最强检验：

$$ \Lambda(x)=\frac{p(x|H_1)}{p(x|H_0)} \mathop{\gtrless}_{H_0}^{H_1}\eta. $$

复合问题常尝试 GLRT：

$$ \Lambda_G(x)= \frac{\sup_{\theta\in\Theta_1}p(x|\theta,H_1)} {\sup_{\theta\in\Theta_0}p(x|\theta,H_0)} \mathop{\gtrless}_{H_0}^{H_1}\eta. $$