来源：‣（第三章｜最佳检测准则 → 10. 典型例题：高斯观测）

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10. 典型例题：高斯观测

证明与计算｜高斯观测的门限与检测率计算

两密度相比，取对数：

$$ \ln\Lambda(x)= -\frac{(x-A)^2-x^2}{2\sigma^2} =\frac{A}{\sigma^2}x-\frac{A^2}{2\sigma^2}. $$

从似然比门限$\Lambda(x)>\eta$转为对观测值的门限：

$$ \boxed{x>\gamma=\frac A2+\frac{\sigma^2}{A}\ln\eta.} $$

10.1 Bayes、MAP 与 min P_E

取$A=2,\sigma=1,\pi_0=0.8,\pi_1=0.2$。

• min P_E = MAP，0–1 损失：$\eta=0.8/0.2=4$，所以$\gamma=1+\tfrac12\ln4\approx1.693$。
• Bayes，虚警代价 1、漏检代价 4、判对无损失：$\eta=0.8\times1/(0.2\times4)=1$，所以$\gamma=1$。漏检更贵，就用更低门限来减小漏检概率。

10.2 N-P：虚警率限定为 5%

如果$\alpha_0=0.05$，在$H_0$下$X\sim\mathcal N(0,\sigma^2)$：

$$ P_{FA}=P(X>\gamma\mid H_0) =1-\Phi(\gamma/\sigma)=0.05. $$

因此（$\Phi$表示标准正态分布函数）：

$$ \boxed{\gamma_{NP}=\sigma\,\Phi^{-1}(0.95)\approx1.645\sigma.} $$

在$A=2,\sigma=1$时，$\gamma_{NP}\approx1.645$，检测概率：

$$ P_D=1-\Phi\left(\frac{\gamma_{NP}-A}{\sigma}\right) \approx0.639. $$

注意两个门限不是同一数值：观测值门限是$\gamma_{NP}\approx1.645$；对应的似然比门限