来源：‣（第一章｜随机信号处理 → 2.2 严平稳、宽平稳、遍历性）
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证明与计算｜均值遍历的均方判据
推导：什么时候时间平均的均方误差趋于 0？
对 WSS 过程：
$$ \mathbb E|\bar X_N-\mu|^2 =\frac1{N^2}\sum_{k=-(N-1)}^{N-1}(N-|k|)C_X[k]. $$
若协方差序列绝对可和，则右侧不超过 $N^{-1}\sum_k|C_X[k]|$，趋于 0。这是均方意义下均值遍历的充分条件，不等于所有统计量都遍历。
证明与计算｜均值误差中 N−|k| 的来源
令 Y[n]=X[n]−μ，展开有限求和：
$$ \mathbb E|\bar X_N-\mu|^2 =\frac1{N^2}\sum_{r=0}^{N-1}\sum_{s=0}^{N-1}C_X[r-s]. $$
差值 r−s=k 在这个正方形索引区域出现 N−|k| 次，故得到上方均值遍历判据的加权和。若协方差绝对可和：
$$ 0\le\mathbb E|\bar X_N-\mu|^2 \le\frac1N\sum_{k=-\infty}^{\infty}|C_X[k]|\longrightarrow0. $$
严平稳（SSS）：对任意有限个时刻、任意共同平移量，联合分布不变。只验证两个时刻的 PDF 不足以证明严平稳。
$$ (X(t_1),\ldots,X(t_m)) \overset{d}{=} (X(t_1+\Delta),\ldots,X(t_m+\Delta)). $$
宽平稳（WSS）：二阶矩有限，均值为常数，自相关只依赖时间差：
$$ m_X(t)=\mu,\qquad R_X(t+\tau,t)=R_X(\tau). $$
严平稳且二阶矩有限 ⇒ 宽平稳；一般不能反推。对实联合高斯过程，均值和协方差确定所有有限维分布，因此宽平稳可推出严平稳。
遍历性问的是“能否用一条长记录的时间平均，代替对所有实现的总体平均”。必须指明对哪种统计量、以何种收敛意义成立。
例如离散均值遍历：