来源：‣（第二章｜匹配滤波器理论 → 2. 内积、相关、相关系数：补全原速记）

迁移说明：从正式 Notes 的对应小节迁入。保留核心正文、公式与推导；原插图、附件及交互式折叠请从来源链接查看。内容待校对。

2. 内积、相关、相关系数：补全原速记

理解补充，衔接课件第 9、13 页。“相似性”要先区分是否归一化、是否去均值。

2.1 确定向量与确定信号

向量内积包含方向吻合程度和幅度大小；归一化以后得到余弦相似度。这里采用对第一项线性的内积约定：

$$ \langle a,b\rangle=\sum_i a_i b_i^*,\qquad \|a\|=\sqrt{\langle a,a\rangle},\qquad \rho_{ab}=\frac{\langle a,b\rangle}{\|a\|\,\|b\|}. $$

对于非零向量，$|\rho_{ab}|\le 1$；实向量就是夹角余弦。连续信号的“求和”换成“积分”，并允许模板滑动：

$$ R_{xs}(\tau)=\int_{-\infty}^{\infty}x(t)s^*(t-\tau)\,dt. $$

本章使用的是未归一化的相关，便于积累信号能量；不是说所有“相关”定义都禁止归一化。

2.2 随机变量：方差不是模长

令 $X_c=X-\mathbb E X$，把随机变量看成平方可积空间中的“向量”，内积为期望：

$$ \langle X,Y\rangle=\mathbb E[XY^*],\qquad \|X\|=\sqrt{\mathbb E|X|^2}. $$

$$ \operatorname{Var}(X)=\mathbb E|X_c|^2=\|X_c\|^2,\qquad \sigma_X=\|X_c\|. $$

因此原速记“方差就是模值”应改为：中心化随机变量的方差对应模长的平方，标准差才对应模长。

$$ \rho_{XY}= \frac{\mathbb E[(X-\mu_X)(Y-\mu_Y)^*]}{\sigma_X\sigma_Y}. $$

这里假设两个标准差非零。Pearson 相关系数是“去均值后的归一化内积”；未中心化的相似度通常不能直接当作 Pearson 系数。