来源：‣（第一章｜随机信号处理 → 3.2 理想连续白噪声与带限白噪声）

迁移说明：从正式 Notes 的对应小节迁入。保留核心正文、公式与推导；原插图、附件及交互式折叠请从来源链接查看。内容待校对。

3.2 理想连续白噪声与带限白噪声

证明与计算｜带限白噪声的自相关、采样与理想滤波器

傅里叶逆变换直接给出：

$$ R_v(\tau)=\frac{N_0}{2}\int_{-B}^{B}e^{j2\pi f\tau}df =N_0B\,\operatorname{sinc}(2B\tau), \qquad \operatorname{sinc}(u)=\frac{\sin(\pi u)}{\pi u}. $$

因此：

$$ \sigma_v^2=R_v(0)=N_0B. $$

带内平坦，时域相关函数却是 sinc，不是 δ。“带限白”是一种常用工程叫法，并不意味着任意两个不同连续时刻都不相关。

为什么奈奎斯特间隔采样后可得到白序列？

取 $T_s=1/(2B)$：

$$ R_v[k]=R_v(kT_s)=N_0B\,\operatorname{sinc}(k) =N_0B\,\delta[k]. $$

这个特定理想矩形谱模型的采样序列不相关；若原过程还联合高斯，则这些样本独立同分布。更密集采样通常会引入样本间相关，不能继续把它们当作 iid。

一般真实滤波器没有完美矩形频响，所以应根据实际输出 PSD / 自相关检验。

理想带限噪声如何由白噪声生成？

令理想低通 $H(f)=1$（|f|≤B），带外为 0；输入全带白噪声，则输出就是上面的 PSD。

$$ h(t)=2B\,\operatorname{sinc}(2Bt). $$

理想 h(t) 双边无限长，因此这是一种理论构造，无法用有限延时变成精确因果滤波器。工程上用有限阶 FIR / IIR 近似，并接受过渡带和带外泄漏。

理想全频带模型：

$$ S_w(f)=\frac{N_0}{2},\qquad R_w(\tau)=\frac{N_0}{2}\delta(\tau). $$