来源：‣（第一章｜随机信号处理 → 4.1 总关系：白噪声经过 LTI 系统，功率谱怎样改变？）

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4.1 总关系：白噪声经过 LTI 系统，功率谱怎样改变？

下文默认零均值、离散时间 WSS 过程。令：

$$ x[n]=h[n]*w[n]=\sum_{\ell=-\infty}^{\infty}h[\ell]w[n-\ell]. $$

最重要的输入输出关系：

$$ S_x(e^{j\omega})=\sigma_w^2|H(e^{j\omega})|^2,\qquad \sigma_x^2=\sigma_w^2\sum_n|h[n]|^2. $$

怎么用：|H| 大的频带被增强，输出在这些频带的随机起伏更强；整体乘一个增益会按增益模平方改变功率。

条件：白噪声为零均值、有限方差；h 平方可和可定义有限方差均方输出，绝对可和还保证 BIBO 稳定。完整二阶矩展开见 Maths。

H 是系统的传递函数，S 是随机过程的功率谱。二者不是同一个对象。

flowchart LR
  A["白噪声 w[n]"] --> B["整形滤波器 H(z)=B(z)/A(z)"]
  B --> C["随机信号 x[n]"]
  C --> D["目标功率谱 Sx=σw²|H|²"]

证明与计算｜白噪声经 LTI 系统后的相关函数与功率谱

白噪声满足 $\mathbb E[w[r]w^*[s]]=\sigma_w^2\delta[r-s]$，故：

$$ \begin{aligned} R_x[k] &=\mathbb E[x[n+k]x^[n]]\\ &=\sum_{\ell,m}h[\ell]h^[m]\, \mathbb E[w[n+k-\ell]w^[n-m]]\\ &=\sigma_w^2\sum_m h[m+k]h^[m]. \end{aligned} $$

再对 k 做 DTFT：

$$ \boxed{S_x(e^{j\omega})=\sigma_w^2|H(e^{j\omega})|^2.} $$

并且：

$$ \sigma_x^2=R_x[0]=\sigma_w^2\sum_m|h[m]|^2 =\frac1{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}S_x(e^{j\omega})\,d\omega. $$

白输入下 $h\in\ell^2$ 足以定义有限方差的均方卷积输出；工程中常进一步要求 $h\in\ell^1$，以保证 BIBO 稳定。因果稳定的有限阶有理滤波器通常同时满足这两者。