来源：‣（第一章｜随机信号处理 → 4.2 有理 H(z) 与 ARMA 差分方程是一回事）
迁移说明：从正式 Notes 的对应小节迁入。保留核心正文、公式与推导；原插图、附件及交互式折叠请从来源链接查看。内容待校对。
定义：
$$ H(z)=\frac{B(z)}{A(z)} =\frac{\sum_{j=0}^{q}b_jz^{-j}} {1+\sum_{i=1}^{p}a_iz^{-i}}. $$
实际实现使用下面的递推式；每个 z⁻¹ 表示延时一个采样：
$$ x[n]+\sum_{i=1}^{p}a_ix[n-i] =\sum_{j=0}^{q}b_jw[n-j]. $$
这就是 ARMA(p,q)。这里是滤波器输入输出关系，不要求一条无限平稳随机序列本身必须存在普通意义的双边 Z 变换。
| 模型 | H(z) | 当前值由什么构成 |
|---|---|---|
| AR(p) | $1/A(z)$ | 过去的 x，加上当前白噪声创新 |
| MA(q) | $B(z)$ | 当前及过去 q 个白噪声输入的加权和 |
| ARMA(p,q) | $B(z)/A(z)$ | 过去的 x 与有限个白噪声输入共同作用 |
AR 常说全极点模型；MA 是 FIR / 全零点模型；ARMA 是极点–零点模型。这里“全极点 / 全零点”按 z⁻¹ 的标准系统函数表示理解，不纠结原点处由表示方式引入的零极点。
符号提醒：本页把 AR 项写在等号左侧。若教材写 $x[n]=\sum_i\phi_ix[n-i]+w[n]$，则 $a_i=-\phi_i$；不要只抄系数而漏看正负号。
证明与计算｜有理系统函数与 ARMA 递推
把分母乘回去，按“$z^{-1}$ 对应延时一个采样”解释：