来源：‣（第一章｜随机信号处理 → 4.4 AR：反馈把有限参数变成无限记忆）

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4.4 AR：反馈把有限参数变成无限记忆

证明与计算｜AR 的相关函数、谱与 Yule–Walker

展开几何级数，或不断代入前一时刻：

$$ H(z)=\sum_{r=0}^{\infty}a^rz^{-r}\quad(|z|>|a|), \qquad h[n]=a^nu[n], $$

$$ x[n]=\sum_{r=0}^{\infty}a^rw[n-r]. $$

由白噪声样本不相关：

$$ R_x[0]=\sigma_w^2\sum_{r=0}^{\infty}a^{2r} =\frac{\sigma_w^2}{1-a^2}, \qquad R_x[k]=\frac{\sigma_w^2}{1-a^2}a^{|k|}, $$

$$ S_x(e^{j\omega})= \frac{\sigma_w^2}{1+a^2-2a\cos\omega}. $$

Yule–Walker 关系：从自相关反求 AR 系数

对实系数因果平稳 AR(p)，将递推式乘 x[n-k] 并取期望。对于 k≥1，当前创新 w[n] 与过去 x[n-k] 不相关：

$$ R_x[k]+\sum_{i=1}^pa_iR_x[k-i]=0,\qquad k\ge1. $$

在 k=0 时，x[n] 中包含系数为 1 的当前 w[n]，因此：

$$ R_x[0]+\sum_{i=1}^pa_iR_x[i]=\sigma_w^2. $$

取前 p 个正时延方程可解 a₁…aₚ，再由零时延方程求创新方差。这就是“已知相关结构 → AR 参数 → 谱模型”的联系。

证明与计算｜AR(1) 相关函数的几何级数计算

对 AR(1) 则没有有限支撑，其相关和为几何级数：

$$ R_x[k]=\sigma_w^2\sum_{m=0}^{\infty}a^{m+k}a^m =\frac{\sigma_w^2a^k}{1-a^2},\qquad k\ge0,\quad a\in\mathbb R,\ |a|<1. $$

负时延由实过程自相关的偶对称性补全。