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4. 白噪声下的匹配滤波器

课件第 8–13 页。假设：已知有限能量信号；零均值宽平稳白噪声；在所有满足输出噪声功率有限的 LTI 滤波器中，优化指定时刻的输出 SNR。

必须会用的三条公式

$$ H_{\mathrm{MF}}(\omega)=kS^*(\omega)e^{-j\omega t_0} $$

$$ h_{\mathrm{MF}}(t)=ks^*(t_0-t) $$

$$ \eta_{\max}=\frac{2E_s}{N_0} $$

记忆顺序：共轭 → 时间反转 → 延时。常数 k 同时缩放信号和噪声，不改变输出 SNR。

4.1 为什么模板匹配有效？

证明与计算｜白噪声下的 SNR 上界与等号条件

4.1 最短推导：柯西–施瓦茨不等式

$$ \eta= \frac{\left|\int_{-\infty}^{\infty}S(\omega)H(\omega)e^{j\omega t_0}d\omega\right|^2} {\pi N_0\int_{-\infty}^{\infty}|H(\omega)|^2d\omega}. $$

对分子使用柯西–施瓦茨：

$$ \left|\int SH e^{j\omega t_0}d\omega\right|^2 \le \left(\int|S|^2d\omega\right)\left(\int|H|^2d\omega\right). $$

消掉共同的滤波器能量项，并用 Parseval 等式：

$$ \eta\le\frac{\int|S(\omega)|^2d\omega}{\pi N_0} =\frac{2E_s}{N_0}. $$

等号要求频域两“向量”共线，即 $H(\omega)e^{j\omega t_0}=kS^*(\omega)$，从而得到匹配滤波器。

直觉：$S(\omega)S^*(\omega)=|S(\omega)|^2$，各频率分量在设计时刻消除相位差、相干相加。噪声不具有同样的确定模板，不能以相同方式相干积累。

交叉检查：把最优 h 代回时域