来源：‣（第一章｜随机信号处理 → 4.5 “任意目标功率谱”到底如何由白噪声生成？）

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4.5 “任意目标功率谱”到底如何由白噪声生成？

证明与计算｜谱因子分解的条件

“任意”还隐藏了哪些存在性条件？

对于非负可积的普通离散 PSD，平方根属于 L²，因此可以构造均方意义的双边整形滤波器，得到相同二阶谱。

若要求因果、平方可和的非零谱因子，常用的谱因子存在条件还包括目标谱几乎处处为正以及对数可积条件：

$$ \int_{-\pi}^{\pi}\log S_d(e^{j\omega})\,d\omega>-\infty. $$

这不是“保证任意有限阶、BIBO 稳定实现”的条件；BIBO 稳定要求更强的绝对可和性。精确理想带限谱在整段频率区间为零，不满足上述因果谱因子条件，实际常用近似。

若谱中含 δ 谱线，例如随机幅度的纯正弦，还不能仅靠稳定白噪声整形产生全部谱成分，需要单独处理相应谐波 / 随机初态成分。

参考：MIT 第 10.2.3 节 Modeling Filters and Whitening Filters。

应表述为：设计整形滤波器，使白噪声输出具有给定功率谱。白噪声是输入，不能说白噪声本身“实现了一个滤波器”。

第一步：先给目标谱，不是直接对目标谱做 Z 逆变换

给定合法的目标 PSD $S_d(e^{j\omega})$，要求非负、2π 周期、积分有限；实信号还要求偶对称：

$$ |H(e^{j\omega})|^2=\frac{S_d(e^{j\omega})}{\sigma_w^2}. $$

形式上可取：

$$ H_0(e^{j\omega})=\sqrt{\frac{S_d(e^{j\omega})}{\sigma_w^2}}. $$

它只是一种零相位选择，一般对应双边、非因果的 h[n]。功率谱只确定模平方，不唯一确定相位和 h[n]；乘以模为 1 的全通因子仍可保留输出 PSD。

第二步：谱因子分解，寻找可实现的 H

对有理目标谱的 z 域延拓，寻找：