来源：‣（第一章｜随机信号处理 → 4.6 完整例子：目标谱 → H(z) → h[n] → ARMA）

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4.6 完整例子：目标谱 → H(z) → h[n] → ARMA

证明与计算｜ARMA 完整算例与收敛域

因此这是 ARMA(1,1)。拆成便于逆变换的形式：

$$ H(z)=1+\frac{1.3z^{-1}}{1-0.8z^{-1}}, \qquad h[n]=\delta[n]+1.3(0.8)^{n-1}u[n-1]. $$

所以：

$$ x[n]=w[n]+\sum_{r=1}^{\infty}1.3(0.8)^{r-1}w[n-r]. $$

同一个过程既可用有限阶 ARMA 递推实现，也可表示为无限阶 MA 展开。核对输出方差：

$$ \sigma_x^2=\sum_n|h[n]|^2 =1+\frac{1.3^2}{1-0.8^2} =\frac{205}{36}\approx5.6944. $$

若希望单位输出方差，可以把 H 乘 $\sqrt{36/205}$；这会保留谱形，并相应缩放 PSD。

逆 Z 变换为什么必须带收敛域？

同一个 $1/(1-az^{-1})$：

$$ \begin{cases} a^nu[n],&|z|>|a|,\\ -a^nu[-n-1],&|z|<|a|. \end{cases} $$

对应不同的因果性。要得到稳定系统，收敛域还必须包含单位圆。只写有理式、不写因果性或收敛域，h[n] 一般不唯一。

设单位方差白噪声驱动，目标谱为：

$$ S_d(e^{j\omega})= \frac{1.25+\cos\omega}{1.64-1.6\cos\omega} =\frac{|1+0.5e^{-j\omega}|^2}{|1-0.8e^{-j\omega}|^2}. $$

选取稳定因果、最小相位的谱因子：

$$ H(z)=\frac{1+0.5z^{-1}}{1-0.8z^{-1}},\qquad \mathrm{ROC}:|z|>0.8. $$

极点 0.8、零点 −0.5 都在单位圆内。多项式关系直接给出：