来源：‣（矢量分析与电磁场 → 括号里面是叉乘，最后是标量或矢量）

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括号里面是叉乘，最后是标量或矢量

六面体公式，最后得到标量

想象一个体积为 1 的正方体，求它的体积（xyz, yzx, zxy）：

$$ \begin{align} \vec x \cdot (\vec y \times \vec z)&=\vec y \cdot (\vec z \times \vec x)=\vec z \cdot (\vec x \times \vec y) \\ \nabla \cdot (\vec f \times \vec g) &= \vec g \cdot (\nabla \times \vec f)-\vec f \cdot (\nabla \times \vec g) \end{align} $$

三矢量叉乘，最后得到矢量

结果是矢量，那矢量只跟矢量玩，也就是转化成括号里面是点乘。叉乘也可以谐音成差乘，那就是括号里的东西出来再做差，顺序按括号里面的顺序。

$$ \begin{align} \vec a \times (\vec b \times \vec c)&=\vec a \times \left[-(\vec c \times \vec b)\right]= \vec b(\vec a \cdot \vec c) -\vec c(\vec a \cdot \vec b) \\ \nabla \times (\vec f \times \vec g)&=\vec f(\nabla \cdot \vec g)-(\vec f\cdot \nabla )\vec g +(\vec g \cdot \nabla)\vec f-\vec g(\nabla \cdot \vec f)\\ \nabla \times (\nabla \times \vec f)&=\nabla (\nabla \cdot \vec f) -(\nabla \cdot \nabla)\vec f=\nabla(\nabla \cdot \vec f) -\nabla^2\vec f \end{align} $$

注：$(\vec f\cdot\nabla )\vec g = (f_x \frac{\partial}{\partial x}+f_y \frac{\partial}{\partial y}+f_z \frac{\partial}{\partial z})\vec g$; $(\nabla\cdot\nabla ) \vec f=\nabla^2\vec f = (\frac{\partial^2}{\partial x^2}+ \frac{\partial^2}{\partial y^2}+ \frac{\partial^2}{\partial z^2})\vec f$, 仅在直角坐标系（Cartesian Coordinates）下成立。