来源：‣（第一章｜线性空间与线性变换 → 从集合、基和维数说起）
迁移说明：从原页面按知识小节复制整理。公式和正文保留；原图片、原页面的交互与附件请从来源链接查看。此节点尚未完成逐条学术核对。
先看平面向量：$(2,3)^T=2(1,0)^T+3(0,1)^T$。两根基本方向就能拼出任意平面向量，而且系数唯一；这两根向量称为一组基，系数 $(2,3)^T$ 就是这组基下的坐标。基中有几个向量，空间的维数就是几。上标 $T$ 表示转置，这里把横写的一行转成列向量。
线性组合就是“把若干对象各乘一个数，再相加”。线性空间是一组能按给定规则相加、数乘，并满足通常运算规律的对象；线性无关指只有把系数全部取零，组合结果才会是零。矩阵也可以作为这些对象，不只箭头才叫向量。
例如所有二阶实对称矩阵都写成
$$ \begin{pmatrix}a&b\\b&c\end{pmatrix} =a\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix} +b\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix} +c\begin{pmatrix}0&0\\0&1\end{pmatrix}. $$
只有 $a,b,c$ 三个可独立选择的数，所以这个空间是 3 维，不是因为矩阵是二阶就说空间是 2 维。对称指 $A^T=A$；转置会交换行列，所以主对角线两侧的元素必须相等。
反对称指 $A^T=-A$。二阶实反对称矩阵只能是 $\begin{pmatrix}0&b\\-b&0\end{pmatrix}$，只有一个自由参数，所以是 1 维。一般 $n$ 阶时，对称矩阵有 $n$ 个对角参数和 $n(n-1)/2$ 个上三角参数；反对称矩阵的对角线必须为零，只剩上三角参数：
$$ \dim S_n=\frac{n(n+1)}2,\qquad \dim K_n=\frac{n(n-1)}2. $$
这里 $S_n,K_n$ 分别表示所有 $n$ 阶实对称、实反对称矩阵组成的空间。
证明｜为什么这些自由参数确实给出空间维数？
先验证集合是线性空间：若 $A^T=A,B^T=B$，则 $(aA+bB)^T=aA+bB$；反对称情形同理，转置结果是 $-(aA+bB)$。两类集合都含零矩阵，所以是全体实矩阵空间的子空间。
令 $E_{ij}$ 表示仅第 $i$ 行第 $j$ 列为 1、其余为 0 的矩阵。每个对称矩阵都能唯一写成
$$ A=\sum_{i=1}^n a_{ii}E_{ii}+\sum_{i<j}a_{ij}(E_{ij}+E_{ji}). $$
这说明这些矩阵能拼出任意对称矩阵；比较对角线和上三角元素，又可知零组合的所有系数必须为零，所以它们线性无关，确实是一组基。基中共有 $n+n(n-1)/2$ 项。
实反对称矩阵满足 $a_{ii}=-a_{ii}$，故 $a_{ii}=0$，并且 $a_{ji}=-a_{ij}$。任意矩阵唯一写成
$$ A=\sum_{i<j}a_{ij}(E_{ij}-E_{ji}), $$
同样得到一组有 $n(n-1)/2$ 项的基。