来源：‣（矩阵分析｜分章节 → 换基：同一个向量，换一种坐标记法）
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取 $T(x,y)=(2x,3y)$。在通常的旧基 $e_1=(1,0)^T,e_2=(0,1)^T$ 下，它把横向分量乘 2、纵向分量乘 3，所以矩阵为 $A=\begin{pmatrix}2&0\\0&3\end{pmatrix}$。
新基取 $b_1=(1,1)^T,b_2=(0,1)^T$。新坐标 $(u,v)^T$ 表示 $ub_1+vb_2=(u,u+v)^T$，因此“新坐标 → 旧坐标”的矩阵为
$$ P=\begin{pmatrix}1&0\\1&1\end{pmatrix},\qquad P^{-1}=\begin{pmatrix}1&0\\-1&1\end{pmatrix}. $$
把新基向量的旧坐标按列排列，就得到了 $P$。逆矩阵 $P^{-1}$ 撤销这个坐标转换：$P^{-1}P=I$，其中 $I$ 是保持坐标不变的单位矩阵。
拿一个向量走完全过程：新坐标 $(2,1)^T$ → 旧坐标 $(2,3)^T$ → 经过变换后 $(4,9)^T$ → 新坐标 $(4,5)^T$。最后一步来自 $(4,9)^T=4b_1+5b_2$。
于是新矩阵要从右往左完成三个动作：
$$ B=P^{-1}AP=\begin{pmatrix}2&0\\1&3\end{pmatrix},\qquad B\begin{pmatrix}2\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4\\5\end{pmatrix}. $$
也可检查两列：$T(b_1)=(2,3)^T=2b_1+b_2$，$T(b_2)=(0,3)^T=3b_2$，所以新矩阵的两列是 $(2,1)^T$、$(0,3)^T$。相似变换就是用 $P^{-1}AP$ 给同一个线性变换换坐标表示。
如果输入空间和输出空间分别换不同的基，就分别使用转换矩阵 $P,Q$。输入先由 $P$ 换回旧坐标，输出最后由 $Q^{-1}$ 换成新坐标，所以得到 $B=Q^{-1}AP$；同一空间两边换同一组基时，才有 $Q=P$。
课件内容：一般映射的定义域、陪域分别换基时，矩阵满足 $B=Q^{-1}AP$。
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课件原页：1-1.pdf · PDF 第 42 页
这里统一记 $F$ 为数域，$\dim V=n$，$A=[T]_{\mathcal E}$ 为旧基下的矩阵；$P$ 的列为新基向量在旧基中的坐标。对 $T:V\to V$ 在定义域和陪域使用同一组新基：
$$ [T]_{\mathcal B}=P^{-1}AP. $$
若 $V=V_1\oplus\cdots\oplus V_k$ 且 $T(V_i)\subseteq V_i$，令 $\mathcal B$ 为各 $V_i$ 的基依次拼接，便有
$$ [T]{\mathcal B}=\operatorname{diag}(A_1,\ldots,A_k),\qquad A_i=[T|{V_i}]_{\mathcal B_i}. $$
证明与计算｜不变子空间直和与分块对角矩阵