常用变换对

矩形脉冲

$$ \mathrm{rect}(t)=\begin{cases}1 &|t|\leq \frac1 2 \\ 0 &|t|\gt\frac1 2\end{cases} $$

左边分母上的$\tau$起到扩展的作用，右边的$\tau$即是左边的面积。此外，矩形脉冲不包含$\frac{2\rm{k}\pi}{\tau}(k\neq0)$这些频率（刚好是频谱的零点）。

$$ \mathrm{rect}(\frac{t}{\tau})\leftrightarrow\tau \mathrm{Sa}(\frac{\omega \tau}{2})= \tau \frac{\sin({\frac{\omega \tau}{2})}}{\frac{\omega \tau}{2}} $$

余弦脉冲

可以理解为矩形脉冲的频谱复制并拷贝在中心频率为 $\pm\frac \pi \tau$的地方。右边的分母在 $\omega\to\frac{\pi}{\tau}$时恰好是“$\frac0 0$" 型， $\lim\limits\_{\omega \to \frac{\pi}{\tau}}F(j\omega)=\frac{\tau}{2}$，刚好对应矩形频谱的原点值。

$$ \cos(\frac{\pi t}{\tau})\mathrm{rect}(\frac{t}{\tau})\leftrightarrow \frac{2\tau}{\pi} \frac{\cos(\frac{\omega \tau}{2})}{1-(\frac{\omega \tau}{\pi})^2}=\frac \tau 2\{\mathrm{Sa}[\frac{(\omega - \frac \pi \tau)\tau}{2}] + \mathrm{Sa}[\frac{(\omega + \frac \pi \tau)\tau}{2}]\} $$

图片请查看原 Notes 页面。

升余弦脉冲

$$ \frac{1}{2}[1+\cos(\frac{2\pi t}{\tau})] \mathrm{rect}(\frac{t}{\tau})\leftrightarrow \frac{\tau}{2} \frac{\mathrm{Sa}(\frac{\omega \tau}{2})}{1-(\frac{\omega \tau}{2\pi})^2} $$

类似的，$\frac{\boldsymbol{\tau}}{2}$ 即左边的面积； $\lim\limits\_{\omega \to \frac{2\pi}{\tau}}F(j\omega)=\frac{\tau}{4}$，包含 $\frac{2\pi}{\tau}$这一频率，但不包含 $\frac{2\rm{k}\pi}{\tau}(\rm{k}\gt1)$这些频率，因为它由矩形和矩形的复制拷贝信号组成。

钟形脉冲

$$ e^{-(\frac t \tau)^2} \leftrightarrow \sqrt \pi \tau e^{-(\frac{\omega \tau}{2})^2} $$

三角脉冲

$$ \mathrm \Lambda_\tau (t) =\frac2 \tau\mathrm G_\frac\tau 2(t)*\mathrm G_\frac\tau 2(t)\Leftrightarrow \frac\tau 2 Sa^2(\frac{\omega \tau}{4}) $$

梯形脉冲

想象$\mathrm G\_{\frac{\tau-\tau\1}2}(t)$滑入$\mathrm G\{\frac{\tau+\tau\_1}2}(t)$的过程。