来源：‣（矩阵分析｜分章节 → 映射：允许输入、约定输出与实际输出）
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映射是一条规则：每个允许的输入，都对应唯一输出。写作 $f:X\to Y$ 时，定义域 $X$ 是允许输入的集合，陪域 $Y$ 是事先约定输出所属的集合，像集 $f(X)$ 才是实际能够得到的全部输出。
例如 $f:\mathbb R\to\mathbb R,\ f(x)=x^2$：所有实数都允许输入，输出也约定为实数，但实际只能得到非负数，所以像集是 $[0,\infty)$。陪域可以比像集大。
在矩阵课程中，$T:\mathbb R^2\to\mathbb R^2,\ T(x,y)=(x,0)$ 是另一个例子：定义域、陪域都是平面，像集却只是横轴。这里 $\mathbb R$ 表示实数集合，$\mathbb R^2$ 表示所有二元实数组成的空间。
若规则还满足 $T(ax+by)=aT(x)+bT(y)$，就叫线性映射：先组合再变换，与先变换再组合结果相同。输入输出属于同一个空间时，本笔记称它为线性变换。平方映射不是线性的，例如 $(1+1)^2\ne1^2+1^2$；投影到横轴则是线性的。