来源：‣（矩阵分析｜分章节 → 矩阵是线性变换的坐标表示）
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课件内容：矩阵是线性映射在选定基下的坐标表示；矩阵第 $j$ 列是第 $j$ 个基向量的像的坐标。对线性变换 $T:V\to V$，研究相似变换就是给同一个变换换一组基。
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课件原页：1-1.pdf · PDF 第 34 页
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子空间是大空间里本身也能封闭地做加法、数乘的一部分。例如平面里的横轴和纵轴都是子空间。每个 $(x,y)^T$ 都能唯一拆成 $(x,0)^T+(0,y)^T$，这叫平面是这两个子空间的直和。重点是“能拆开且拆法唯一”。
对 $T(x,y)=(2x,3y)$，横轴上的向量变换后仍在横轴，纵轴也一样，这叫 $T$ 的不变子空间。“不变”指不会跑出这条轴，并非每个向量都保持原样。两个方向互不混合，因此矩阵是对角的。相反，$T(x,y)=(x+y,y)$ 会把纵轴上的 $(0,1)^T$ 送到 $(1,1)^T$，所以纵轴不再是不变子空间。
把这个例子推广：若空间能唯一拆成若干不变子空间，就能按这些子空间分组计算，矩阵相应成为分块对角矩阵（各组之间的块全为零）。如果每组都是一维，就成为普通对角矩阵。
原课件 《矩阵分析》1-1.pdf 第 34–35 页 给出一般线性映射的矩阵表示；MIT 代数讲义第 8 讲第 1–2 页交叉验证按列取基向量的像。以下为整理推导：若 $T:V\to W$，输入基为 $(v_1,\ldots,v_n)$、输出基为 $(w_1,\ldots,w_m)$，令 $T(v_j)=\sum_{i=1}^m a_{ij}w_i$，则 $A=(a_{ij})\in F^{m\times n}$ 且 $[T(x)]_W=A[x]_V$。只有 $V=W$ 且在两侧使用同一组基时，换基才得到相似关系 $P^{-1}AP$；一般两侧分别换基为 $Q^{-1}AP$。
例：若 $f(x_1,x_2,x_3)=(x_3,x_2+x_3,x_1+x_2+x_3)$，标准基的像依次是 $(0,0,1)^T$、$(0,1,1)^T$、$(1,1,1)^T$，把它们作为列即可得到表示矩阵。不要把它们当成行，也不要将一个具体向量的像误当成整个变换。
核对范围：本页文字中的坐标表示、直和与不变子空间示例；原始课件图片仍保留在原笔记中。结论已对照上述课件及 MIT 讲义，补充推导与例子为 Codex 整理。