来源：‣（变换与采样 → 采样和延拓）
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采样率为1000Hz时，那么频率为1Hz的信号和频率为1001Hz的信号无法区分，混在一起，对应频域就是以1000Hz的频率进行周期延拓复制。
冲激串函数是周期函数，可以用傅里叶级数表示，进一步傅里叶变换。
$$ \sum_{n=-\infty}^{+\infty} \delta(t-nT)=\frac{1}{T}\sum_{n=-\infty}^{+\infty} e^{j n \frac{2\pi}{T} t} \Leftrightarrow \frac{2\pi}{T}\sum_{n=-\infty}^{+\infty} \delta\left( \omega - n \frac{2\pi}{T} \right) $$
冲激串采样
$$ f(t)\cdot \sum_{n=-\infty}^{+\infty}\delta(t-nT) = f(t)\cdot \frac{1}{T}\sum_{n=-\infty}^{+\infty} e^{j n \frac{2\pi}{T} t} \Leftrightarrow \frac{1}{T}\sum_{n=-\infty}^{+\infty} F\left(\omega - n\frac{2\pi}{T}\right) $$
假设 $F(\omega)$ 是带限函数，分布在$[-\frac{\omega\_s} 2,\frac{\omega\_s}2]$之间，那$F\s(w)=\frac{1}{T}\sum\{n=-\infty}^{+\infty} F\left(\omega - \frac{2n\pi}{T}\right)$作为周期函数，可以求傅里叶级数：
$$ f_n = \frac 1 {\omega_s} \int_{-\frac{\omega_s} 2}^{+\frac{\omega_s} 2}F_s(\omega)e^{-jkT\omega}\mathrm d \omega = \frac T {2\pi}\int_{-\frac{\omega_s} 2}^{+\frac{\omega_s} 2}F(\omega)e^{-jkT\omega}\mathrm d \omega $$
由傅里叶反变换知：
$$ f(t)=\frac 1 {2\pi} \int_{-\infty}^{+\infty} F(\omega)e^{j\omega t} \mathrm{d}\omega = \frac 1 {2\pi} \int_{-\frac{\omega_s} 2}^{+\frac{\omega_s} 2} F(\omega)e^{j\omega t} \mathrm{d}\omega $$
对比上下两式可知，$f\_n = Tf(-kT)$
$$ \begin{aligned} f(t) \ast \sum_{n=-\infty}^{+\infty} \delta(t - nT) &= \sum_{n=-\infty}^{+\infty} F_n e^{j n \frac{2\pi}{T} t} \\ &\leftrightarrow \frac{2\pi}{T} \sum_{n=-\infty}^{+\infty} F\left( \frac{2jn\pi}{T} \right) \delta\left( \omega - n \frac{2\pi}{T} \right) \end{aligned} $$
其中， $F\_n = \frac{F\left(\frac{2jn\pi}{T}\right)}{T}$，从下往上看可以理解为在频谱中采样使 f(t) 周期性延拓。