来源：‣（矩阵分析｜分章节 → 用非零子式定义矩阵的秩）

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用非零子式定义矩阵的秩

在矩阵中选取同样多的行和列，组成方阵，再取它的行列式，就是一个方形子式。非零子式表示这部分行、列中存在相应阶数的独立结构；非零子式的最高阶数刻画矩阵的秩。

设 $A\in F^{m\times n}$，$F$ 为数域；$I\subseteq\{1,\ldots,m\}$、$J\subseteq\{1,\ldots,n\}$ 分别为行、列指标集，$A_{I,J}$ 表示抽取相应行列得到的子矩阵。矩阵的秩可定义为

$$ \operatorname{rank}(A)= \max\left(\{0\}\cup \left\{k:\exists I,J,\ |I|=|J|=k,\ \det(A_{I,J})\ne0\right\}\right). $$

这一数值等于列秩、行秩，也等于对应线性映射的像空间维数：

$$ \operatorname{rank}(A)=\dim\operatorname{Col}(A) =\dim\operatorname{Row}(A)=\dim\operatorname{Im}(x\mapsto Ax). $$

• $A$ 可以是长方形矩阵；各子式必须来自方形子矩阵，阶数满足 $1\le k\le\min(m,n)$。
• 非零矩阵至少有一个非零的一阶子式；零矩阵没有非零子式，秩约定为 $0$。
• 若 $r\ge1$，证明秩为 $r$ 需要找到一个非零 $r$ 阶子式，并排除所有更高阶非零子式；等价地，检查所有 $r+1$ 阶子式均为零即可。若 $r=\min(m,n)$，不存在更高阶子式，上界自动成立。

1. 找到一个非零 $k$ 阶子式，得到 $\operatorname{rank}(A)\ge k$。
2. 排除更高阶非零子式，确定秩；实际计算中，高斯消元通常比枚举所有子式更省力。

例如

$$ A=\begin{pmatrix}1&2\\2&4\end{pmatrix},\qquad \det A=0,\qquad \operatorname{rank}(A)=1. $$

其中元素 $1$ 就是非零一阶子式，而唯一的二阶子式为零。

找到一个非零子式只能给出秩的下界；找到某个子式为零，不能推出同阶子式全为零。对子式可任意选行、选列，不限于连续行列，也不限于行列指标相同的主子式。

对于数域 $F$ 上的 $n$ 阶方阵，$\det A\ne0$ 等价于 $\operatorname{rank}(A)=n$，也等价于在 $F$ 上可逆；$\det A=0$ 只说明秩小于 $n$，不说明秩为零。λ-矩阵及多项式逆的区别见第二章的「λ-矩阵：满秩与多项式可逆性」。

问答｜非零子式能否用来定义矩阵的秩？

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