来源：‣（矩阵与线性方程组 → 向量组、线性方程组）

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向量组、线性方程组

内积，双线性性质。正交比线性无关更强。可以利用正交构造最大线性无关组

1. $\bm\alpha_1, \bm\alpha_2,\cdots,\bm\alpha_s$ 和 $\bm \beta_1, \bm \beta_2, \cdots,\bm\beta_n$ 是两个 $n$ 维实向量组，并且每个 $\bm\alpha_i$ 和 $\bm\beta_j$都正交，则 $r(\bm\alpha_1, \bm\alpha_2,\cdots,\bm\alpha_s,\bm \beta_1, \bm \beta_2, \cdots,\bm\beta_n)=r(\bm\alpha_1, \bm\alpha_2,\cdots,\bm\alpha_s)+r(\bm \beta_1, \bm \beta_2, \cdots,\bm\beta_n)$
2. $\bm A$ 是 $r\times n$ 实矩阵， $r(\bm A) = r \leq n$，实非零向量 $\bm\beta$ 是 $\bm{AX}=\bm 0$ 的解，记 $\bm\alpha_1, \bm\alpha_2,\cdots,\bm\alpha_r$ 是 $\bm A$ 的行向量组 ，则 $\bm\alpha_1, \bm\alpha_2,\cdots,\bm\alpha_r,\bm\beta$ 线性无关（正交），可以进一步把 $\bm\beta$ 变成 解向量组 $\bm J:\bm \beta_1, \bm \beta_2, \cdots,\bm\beta_{t}$ ，易得 $r(\bm J) + r(\bm A) = n$
3. 方程组 $\bm{A\eta}=\bm0$ 和 $\bm{B\xi}=\bm0$ 解空间等价，即同解，则取各自的基础解解系可得$r(\bm\eta_1,\bm\eta_2,\cdots,\bm\eta_{n-r},\bm\xi_1,\bm\xi_2,\cdots,\bm\xi_{n-r})=n-r$ 。 $\bm A$ 的行向量组和 $\bm B$ 的行向量组与基础解系正交，由结论 1 得 $r(\bm\eta_1,\bm\eta_2,\cdots,\bm\eta_{n-r},\bm\xi_1,\bm\xi_2,\cdots,\bm\xi_{n-r},\bm\alpha_1, \bm\alpha_2,\cdots,\bm\alpha_r,\bm \beta_1, \bm \beta_2, \cdots,\bm\beta_r)=r(\bm\alpha_1, \bm\alpha_2,\cdots,\bm\alpha_r,\bm \beta_1, \bm \beta_2, \cdots,\bm\beta_r)+r(\bm\eta_1,\bm\eta_2,\cdots,\bm\eta_{n-r},\bm\xi_1,\bm\xi_2,\cdots,\bm\xi_{n-r})=n$,则 $r(\bm\alpha_1, \bm\alpha_2,\cdots,\bm\alpha_r,\bm \beta_1, \bm \beta_2, \cdots,\bm\beta_r) = r(\bm\alpha_1, \bm\alpha_2,\cdots,\bm\alpha_r)=r(\bm \beta_1, \bm \beta_2, \cdots,\bm\beta_r)=r$，即 $\bm A$ 的行向量组和 $\bm B$ 的行向量组等价

矩阵 $\bm A$ 可逆 $\Leftrightarrow |\bm A| \neq 0 \Leftrightarrow \bm{AX}=\bm 0$ 只有零解。

两边都取否命题 （ $p \Leftrightarrow q$，两个方向都用逆否命题可得 $\bar p \Leftrightarrow \bar q$ ），矩阵 $\bm A$ 不可逆 $\Leftrightarrow |\bm A|=0$ $\Leftrightarrow \bm A$ 有特征值0。

$\bm |\bm A - k\bm E| = 0$ $\Leftrightarrow \bm A$ 有特征值 $k$ $\Leftrightarrow \bm{AX} = k\bm X = \bm \beta$ 有非零解 $\Leftrightarrow \bm \beta$ 能用 $\bm A$ 的列向量组线性表示。

$\bm{AX} = \bm0$ 有解，解集 $\bm J$的秩为 $n - r(\bm A) \Leftrightarrow r(\bm J) + r(\bm A) = n$

$\bm{AX} = \bm \beta (\bm \beta \neq \bm 0)$ 有解，解集 $\bm J$的秩为 $n - r(\bm A) +1 \Leftrightarrow r(\bm J) + r(\bm A) = n + 1$（多了个特解）

$\bm{AB} = \bm C, r(\bm A) + r(\bm B) \leq r(\bm C) + n$ ，可以把 $\bm C$ 想象成 $\bm \beta_1, \bm \beta_2, \cdots,\bm\beta_n$ 的线性组合。