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λ-矩阵：满秩与多项式可逆性

矩阵的元素范围决定了“可逆”的含义。对多项式矩阵，非零多项式不一定能用多项式作倒数；所以满秩并不足以保证存在多项式逆。

课件内容：前一张课件原页用非零子式定义 λ-矩阵的秩，并要求其逆矩阵仍为 λ-矩阵；后一张原页给出可逆的充要条件。

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设 $F$ 为数域，$A(\lambda)\in F[\lambda]^{n\times n}$，统一以 $I_n$ 表示单位矩阵：

$$ \operatorname{rank}A(\lambda)=n \iff \det A(\lambda)\not\equiv0. $$

$$ A(\lambda)\text{ 在 }F[\lambda]\text{ 上可逆} \iff \det A(\lambda)=c,\quad c\in F\setminus\{0\}. $$

若可逆，则

$$ A(\lambda)^{-1}=c^{-1}\operatorname{adj}A(\lambda). $$

• 已确认讨论的是多项式矩阵，且逆矩阵的元素也必须为多项式；上述可逆性判据针对方阵。
• 秩判据中的“不为零”指不是零多项式，不要求代入每一个 $\lambda$ 后数值都非零。
• 若改为允许有理函数元素，即在 $F(\lambda)$ 上讨论，那么 $\det A(\lambda)\not\equiv0$ 就足以保证存在有理函数逆。

1. 先明确逆矩阵允许的元素范围，再求 $\det A(\lambda)$。
2. 行列式为零多项式：秩小于 $n$，不可逆。
3. 行列式是非零常数：满秩，且存在多项式逆。