设结果 $y=f(x_1,\ldots,x_n)$，输入量 $x_i$ 的标准不确定度是 $u(x_i)$。一阶线性化下，灵敏系数

$$ c_i=\left.\frac{\partial f}{\partial x_i}\right|_{\boldsymbol x=\hat{\boldsymbol x}} $$

说明输入变化 $1$ 单位会使输出变化多少（含单位与符号）。合成标准不确定度为

$$ u_c^2(y)=\sum_i c_i^2u^2(x_i)+2\sum_{i<j}c_ic_j\,u(x_i,x_j). $$

其中 $u(x_i,x_j)=r_{ij}u(x_i)u(x_j)$ 为协方差。只有可忽略相关性时，才能直接用独立分量的方和根：

$$ u_c(y)=\sqrt{\sum_i(c_i u(x_i))^2}. $$

相关性：为何不能简单相加

假设 $y=x_1-x_2$，二者的不确定度均为 $u$。

• 独立时 $u_c=\sqrt 2\,u$；
• 完全同向相关 $r=+1$ 时，共同漂移在相减中抵消，$u_c=0$（仅指该相关分量）；
• 完全反向相关 $r=-1$ 时，$u_c=2u$。

若两个测量结果共用时钟参考、温控环境或标准源，常需要评估相关性。可用成对观测计算样本协方差；也可根据共同影响量 $q$ 的灵敏度估计

$$ u(x_i,x_j)\approx\frac{\partial x_i}{\partial q}\frac{\partial x_j}{\partial q}u^2(q). $$

注意：样本协方差为零只表示未见线性相关，不足以证明统计独立或“完全无影响”。

扩展不确定度

合成标准不确定度 $u_c(y)$ 乘包含因子 $k$ 得到 $U=ku_c(y)$。报告形如：

$$ Y=y\pm U\quad (k=2,\ \text{注明近似包含概率、分布假设}). $$

当明确要求包含概率 $p$、有效自由度 $\nu_\mathrm{eff}$ 时，可基于 Welch–Satterthwaite 方法求 $\nu_\mathrm{eff}$，再通过 $t$ 分布确定 $k_p$，得到 $U_p=k_pu_c$。不能机械地认为 $k=2$ 对任何分布、任何样本量都精确对应 95%。

操作清单

1. 明确被测量定义与测量模型；2. 列各来源（重复性、校准证书、分辨率、环境等）；3. 将各来源换算为标准不确定度；4. 求灵敏系数与相关性；5. 计算 $u_c$、$U$；6. 报告条件、自由度/覆盖因子与结果有效位数。