知识依据：官方教学资料（MIT 6.432: R3–R4 Bayesian hypothesis tests）。本节点为结合资料独立整理的课程讲解，并非官方材料逐字摘录。

概念与适用条件

Bayes 判决门限取决于先验概率与误判成本的组合；仅在 0–1 损失时 MAP 与最小误判率判决一致。

核心推导与注意事项

约定 $C_{ij}$ 表示真实假设为 $H_j$、决策为 $H_i$ 时的损失。设先验概率 $\pi_j=P(H_j)$，条件概率密度为 $f_j(x)=p(x\mid H_j)$。

使用观测 $x$ 的两种决策的未归一化条件风险分别为：

$$ r_0(x)=C_{00}\pi_0f_0(x)+C_{01}\pi_1f_1(x) $$

$$ r_1(x)=C_{10}\pi_0f_0(x)+C_{11}\pi_1f_1(x) $$

当 $C_{10}>C_{00}$ 且 $C_{01}>C_{11}$ 时，判 $H_1$ 的条件是 $r_1(x)<r_0(x)$，化简为似然比检验：

$$ \Lambda(x)=\frac{f_1(x)}{f_0(x)}>\frac{\pi_0(C_{10}-C_{00})}{\pi_1(C_{01}-C_{11})} $$

当判对代价为 $0$、判错代价均为 $1$ 时，门限退化为 $\pi_0/\pi_1$，与 MAP 准则一致。一般不对称代价的最小 Bayes 风险判决不一定等价于 MAP。

核心公式

$$ \boxed{\eta_{\mathrm B}=\frac{\pi_0(C_{10}-C_{00})}{\pi_1(C_{01}-C_{11})}} $$

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