知识依据：官方教学资料（MIT 6.432: R10 Detection in colored Gaussian noise）。本节点为结合资料独立整理的课程讲解，并非官方材料逐字摘录。

概念与适用条件

当 H0 和 H1 下协方差相同、均值不同，最优似然比可写成以逆协方差加权的线性统计量。

核心推导与注意事项

设 $x,s\in\mathbb R^n$，且两个假设具有相同的已知正定协方差矩阵 $\Sigma$：

$$ H_0:x\sim\mathcal N(0,\Sigma),\qquad H_1:x\sim\mathcal N(s,\Sigma) $$

多元高斯密度的归一化项和二次项中与 $x$ 相同的部分相消，故对数似然比为：

$$ \ln\Lambda(x)=-\frac12(x-s)^{\mathsf T}\Sigma^{-1}(x-s)+\frac12x^{\mathsf T}\Sigma^{-1}x $$

展开得到：

$$ \ln\Lambda(x)=s^{\mathsf T}\Sigma^{-1}x-\frac12s^{\mathsf T}\Sigma^{-1}s $$

因此可选择 $T(x)=s^{\mathsf T}\Sigma^{-1}x$ 作为检测统计量。逆协方差加权会考虑噪声的强度及不同观测分量之间的相关性。当 $\Sigma=\sigma^2I$ 时，统计量与普通相关／匹配滤波统计量成正比；若 $\Sigma$ 具有非零非对角元，不能直接按各分量方差倒数逐项加权。

核心公式

$$ \boxed{T(x)=s^{\mathsf T}\Sigma^{-1}x} $$

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