若 $A,B\in\mathbb C^{n\times n}$ 都可对角化，则

$$ AB=BA \quad\Longleftrightarrow\quad \exists P\text{ 可逆，使 }P^{-1}AP,\ P^{-1}BP\text{ 均为对角矩阵}. $$

同时对角化比“各自可对角化”要求更高：必须存在同一组基向量同时是 $A$、$B$ 的特征向量。

为什么可交换是关键

必要性直接：同一个基下它们都是对角矩阵，而对角矩阵可交换，故原矩阵也可交换。

充分性思路（课件 p79–82）：

1. 因 $A$ 可对角化，把空间按 $A$ 的不同特征值拆为直和：$V=\bigoplus_\lambda E_\lambda(A)$。
2. 若 $AB=BA$，对 $v\in E_\lambda(A)$ 有

$$ A(Bv)=B(Av)=\lambda Bv, $$

因此 $Bv\in E_\lambda(A)$；每个 $A$ 特征子空间都被 $B$ 保持。

1. $B$ 本身可对角化，限制到每个不变子空间上的算子也可对角化。于是可以在每个 $E_\lambda(A)$ 内挑选 $B$ 的特征向量组成基。
2. 拼接所有基，便得到共同特征向量基和同一个 $P$。

反例：只可交换并不足够

设 $A=I_2$，$B=\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}$。显然 $AB=BA$，但 $B$ 有非平凡 Jordan 块、不可对角化，所以二者不可能同时对角化。

反例：各自可对角化也不足够

设 $A=\begin{pmatrix}1&0\\0&2\end{pmatrix}$，$B=\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}$。二者都是可对角化矩阵，但 $AB\ne BA$，故没有共同的对角化基。

工程联系

若两个系统算子能同时对角化，便可在同一组“模态”下独立处理；若不能交换，其特征方向会相互混合。多个矩阵时，若它们在复数域上两两可交换且各自可对角化，可推广为共同对角化。

来源：《1-1.pdf》第77–82页。反例为教学补充。

新课件对照：可交换正规矩阵的同时酉对角化