谱分解的一般形式

若 $A$ 可对角化，设 $\lambda_1,\ldots,\lambda_s$ 是互异特征值，其对应谱投影 $P_i$ 满足：

$$ A=\sum_{i=1}^{s}\lambda_iP_i,\qquad \sum_{i=1}^{s}P_i=I,\qquad P_iP_j=\delta_{ij}P_i. $$

一般可对角化矩阵的这些投影未必正交：$P_i^*$ 可能不等于 $P_i$。

正规矩阵的特殊情形

当 $A$ 正规，$A=U\Lambda U^*$，各特征空间彼此正交：

$$ P_i=U_iU_i^,\qquad P_i^=P_i,\qquad P_i^2=P_i. $$

其中 $U_i$ 的列是对应同一特征值 $\lambda_i$ 的标准正交特征向量。

易错辨析

• 不应将谱投影总写成 Hermitian 投影；只有正规等附加条件才保证正交。
• 重复特征值的投影应汇总其整个特征子空间；不能把重复特征值当成互异值重复累加。
• 含非平凡 Jordan 块的矩阵不能使用上述纯投影形式的普通谱分解。

课件出处

4-1.pdf，第 56—72 页。