定义与存在性

若 $A\in\mathbb C^{m\times n}$ 的秩为 $r>0$，则存在矩阵 $B\in\mathbb C^{m\times r}$、$C\in\mathbb C^{r\times n}$：

$$ A=BC,\qquad \operatorname{rank}B=\operatorname{rank}C=\operatorname{rank}A=r. $$

一种构造方法是从 $A$ 中选取 $r$ 个线性无关列形成 $B$，再以这些列为基表示 $A$ 的每列，系数构成 $C$。

非唯一性

对任意可逆 $T\in\mathbb C^{r\times r}$：

$$ A=(BT)(T^{-1}C). $$

因此满秩分解不唯一；可逆变换只改变中间空间的基。

对照

• 满秩分解只保证秩性质，不保证正交性或奇异值排序。
• 紧 SVD 也写成两个因子的乘积，但附加了酉矩阵、非负奇异值等结构。
• 对零矩阵可形式上取 $r=0$，通常另作退化情形处理。

课件出处

4-1.pdf，第 2—11 页。