实正交与复酉

实方阵 $Q$ 满足 $Q^TQ=I$ 时为正交矩阵；复方阵 $U$ 满足 $U^*U=I$ 时为酉矩阵。

$$ Q^{-1}=Q^T,\qquad U^{-1}=U^*. $$

几何性质

对复向量 $x,y$，酉变换保持标准内积，从而保持长度与夹角（复空间的角度需按相应定义）：

$$ (Ux)^*(Uy)=x^*U^*Uy=x^*y,\qquad \|Ux\|_2=\|x\|_2. $$

酉矩阵的列（和行）构成标准正交基。每个特征值都满足：

$$ Uu=\lambda u,\ u\ne0\quad\Longrightarrow\quad|\lambda|=1,\qquad|\det U|=1. $$

容易混淆的地方

• 一般矩形矩阵 $Q$ 可能只有 $Q^Q=I$（半酉/列标准正交），此时 $QQ^$ 是投影，不一定是 $I$。
• 复空间用共轭转置；直接把 $U^T$ 代替 $U^*$ 会出错。
• 正交/酉是保持标准内积的变换；正规矩阵的概念更广，不必保持范数。

来源

3-1.pdf 第11—14、33—37页。