设 $A(t)=[a_{ij}(t)]$，元素是区间上的实或复函数。极限、导数和定积分按元素定义：
$$ A'(t)=[a'{ij}(t)],\qquad \int_a^b A(t)\,dt=\left[\int_a^b a{ij}(t)\,dt\right]. $$
若维数相容且可导：
$$ (AB)'=A'B+AB'. $$
若每个 $t$ 的 $A(t)$ 都可逆，则对 $A(t)A(t)^{-1}=I$ 求导得到：
$$ \frac{d}{dt}A^{-1}=-A^{-1}A'A^{-1}. $$
由于矩阵乘法通常不交换，不能把它简化成标量形式 $-A'/A^2$。
矩阵 $A(t)$ 在有理函数域或函数域上满秩，并不保证每一个 $t$ 上可逆。例如：
$$ A(t)=\begin{bmatrix}t&0\\0&t\end{bmatrix},\qquad \det A(t)=t^2. $$
作为函数矩阵，行列式不是恒零函数；但 $t=0$ 时 $A(0)$ 不可逆，逆矩阵求导公式不适用。需明确指定区间，并逐点验证 $\det A(t)\ne0$。
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