来源：‣（第二章｜信号检测和参数估计 → 5. 估计 A²：线性近似为何漏掉一个项？）
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仍考虑独立高斯均值模型。令 $v_N=\sigma^2/N$、$\varepsilon=\bar x-A\sim\mathcal N(0,v_N)$。估计目标改成 $\alpha=A^2$ 时，直接平方得到
$$ \hat\alpha=\bar x^2=A^2+2A\varepsilon+\varepsilon^2. $$
小误差下，一阶 Taylor 近似只保留 $2A\varepsilon$，因此方差近似为 $4A^2v_N$。平方产生的新随机项 $\varepsilon^2$ 同时带来了偏差和额外方差：
$$ \mathbb E[\hat\alpha]=A^2+v_N,\qquad \operatorname{Var}(\hat\alpha)=4A^2v_N+2v_N^2. $$
固定 A、噪声方差不变且 $N\to\infty$ 时，偏差趋零，所以渐近无偏；由样本均值的一致性及平方函数的连续性，也可得到一致性。渐近无偏本身一般不等价于一致。
推导：高斯矩、精确方差和 Delta 方法的边界
对 $Z\sim\mathcal N(0,v_N)$，由对称性奇数阶矩为零；密度满足 $p'(z)=-zp(z)/v_N$。分部积分得到
$$ \mathbb E[Z^k]=(k-1)v_N\,\mathbb E[Z^{k-2}],\qquad k\ge2. $$
因此 $\mathbb E[Z^2]=v_N$、$\mathbb E[Z^4]=3v_N^2$，一般 $\mathbb E[Z^{2m}]=(2m-1)!!\,v_N^m$。 代入 $\hat\alpha-A^2=2A\varepsilon+\varepsilon^2$：
$$ \operatorname{Cov}(\varepsilon,\varepsilon^2)=0,\qquad \operatorname{Var}(\varepsilon^2)=3v_N^2-v_N^2=2v_N^2. $$
故精确方差为 $4A^2v_N+2v_N^2$。一般光滑 g 的一阶近似是
$$ g(\hat A)-g(A)\approx g'(A)(\hat A-A),\qquad \operatorname{Var}(g(\hat A))\approx[g'(A)]^2\operatorname{Var}(\hat A). $$
当 A=0 时一阶导数为零，一阶近似遗漏全部主导波动，必须保留二阶项；实际方差为 $2v_N^2$，不是零。
若 T 无偏估计参数函数 $g(A)$，相应 CRB 为
$$ \operatorname{Var}(T)\ge\frac{[g'(A)]^2}{I(A)}. $$
取 $g(A)=A^2$，下界为 $4A^2v_N$。已知噪声方差时，$T=\bar x^2-v_N$ 无偏，但方差仍为 $4A^2v_N+2v_N^2$，有限 N 下严格大于这个界。方差校正是减常数，因此只消掉偏差，没有消掉随机波动。
证明：函数估计的 CRB