来源：‣（第三章｜最佳检测准则 → 6. MAP：选后验概率最大的假设）

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6. MAP：选后验概率最大的假设

直觉：已经看到这个观测后，哪种真实情况更有可能，就选哪一种。

$$ \hat H(x)=\arg\max_{H_i}P(H_i\mid x),\qquad \eta_{\rm MAP}=\frac{\pi_0}{\pi_1}. $$

MAP 与 min P_E 在 0–1 损失下等价；代价不对称时，使用一般 Bayes 准则。不要把“最有可能”自动等同于“损失最小”。

证明与计算｜MAP 门限推导

MAP = Maximum A Posteriori。给定$x$，选后验概率大的假设：

$$ \hat H(x)=\arg\max_{H_i}P(H_i\mid x). $$

因此：

$$ \begin{aligned} P(H_1\mid x)>P(H_0\mid x) &\iff \pi_1 f_1(x)>\pi_0 f_0(x)\\ &\iff \Lambda(x)>\frac{\pi_0}{\pi_1}. \end{aligned} $$

所以：

$$ \boxed{\eta_{\mathrm{MAP}}=\frac{\pi_0}{\pi_1} =\eta_{\min P_E}.} $$

为什么两者等价？ 采用 0–1 损失时，给定观测后判$H_i$的出错概率等于$1-P(H_i\mid x)$，使它最小就是使$P(H_i\mid x)$最大；每个观测都最优，平均起来的总错误概率自然也最小。代价不对称时应使用一般 Bayes 准则，而不能直接使用 MAP 取代。