来源：‣（第三章｜最佳检测准则 → 7. N-P：先限制虚警，再争取检测率）

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7. N-P：先限制虚警，再争取检测率

证明与计算｜N-P 拉格朗日推导与门限

在许多检测任务中，只规定虚警不能超过某个水平$\alpha_0$，并尽量提高检测概率：

$$ \boxed{\max_{\Gamma_1}P_D\quad \text{s.t.}\quad P_{FA}\le\alpha_0.} $$

因为$P_M=1-P_D$，也可写成

$$ \min_{\Gamma_1}P_M \quad\text{s.t.}\quad P_{FA}\le\alpha_0. $$

7.1 把约束合进目标函数

令$\lambda\ge0$为拉格朗日乘子，构造：

$$ \mathcal L(\Gamma_1,\lambda) =P_M+\lambda(P_{FA}-\alpha_0). $$

代入条件概率的积分表达：

$$ \begin{aligned} \mathcal L &=1-\int_{\Gamma_1}f_1(x)\,dx+ \lambda\left(\int_{\Gamma_1}f_0(x)\,dx-\alpha_0\right)\\ &=1-\lambda\alpha_0+ \int_{\Gamma_1}[\lambda f_0(x)-f_1(x)]\,dx. \end{aligned} $$

注意常数$1-\lambda\alpha_0$与判决域无关。为了让积分最小，要把被积函数为负的观测点收入$\Gamma_1$：

$$ \lambda f_0(x)-f_1(x)<0 \iff f_1(x)>\lambda f_0(x). $$

最终得到：

$$ \boxed{\Lambda(x)=\frac{f_1(x)}{f_0(x)} \underset{H_0}{\overset{H_1}{\gtrless}}\lambda.} $$

采用本页写法时，拉格朗日乘子$\lambda$同时就是似然比门限。不是说所有教材都用同一个字母；换一种目标函数的缩放方式也可能把门限记成另一个参数。

7.2 门限由虚警约束反推，而非事先写死

一般非退化连续情形下，要选择$\lambda$使：