来源：‣（第三章｜最佳检测准则 → 8. 最重要的等价变形）

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8. 最重要的等价变形

证明与计算｜目标函数的等价变形

在正确判断无代价时，Bayes 风险为：

$$ R=\pi_0 C_{10}P_{FA}+\pi_1 C_{01}P_M. $$

而 N-P 的拉格朗日目标是：

$$ \mathcal L=P_M+\lambda(P_{FA}-\alpha_0) =\underbrace{P_M+\lambda P_{FA}}_{\text{影响判决域}} -\lambda\alpha_0. $$

因为最后一项对给定的$\lambda$是常数，比较两式便可选择一组人为的等效代价权重：

$$ \boxed{\pi_1C_{01}=1,\qquad \pi_0C_{10}=\lambda.} $$

即（在$\pi_0,\pi_1>0$时）

$$ C_{01}=\frac{1}{\pi_1},\qquad C_{10}=\frac{\lambda}{\pi_0},\qquad R=P_M+\lambda P_{FA}. $$

这个$R$和 N-P 的拉格朗日目标仅差常数$-\lambda\alpha_0$，故对固定$\lambda$具有相同的最优判决域。但是：

• 此处的先验和代价只是数学重写用的“虚拟权重”，N-P 实施时不需要知道实际先验，也不需要设定实际错误损失。
• 不能光凭$\pi_1C_{01}=1$就找到 N-P 最优解；还必须由$P_{FA}\le\alpha_0$的约束选出$\lambda$。
• 正系数的整体缩放不影响判决域。把乘子目标乘正数后，同样可以得到不同数值表示的等价“代价”。

结论：$C_{01}$是“漏检代价”；$\pi_1C_{01}$是“先验概率加权后的漏检损失系数”。在 N-P 的某种推导中令$\pi_1C_{01}=1$，只是为了将目标函数归一化，不是实际代价、先验或 N-P 定理的额外要求。

区分两个对象：

• C₀₁ 是一次漏检的损失；π₁C₀₁ 是考虑目标出现频率后的损失系数。
• 写 π₁C₀₁=1，是把漏检项系数归一化为 1 的一种数学选择，并非规定实际漏检代价必须取某个数。