谱半径

$$ \rho(A)=\max_{\lambda\in\sigma(A)}|\lambda|. $$

对任一相容的次乘性矩阵范数，谱半径满足 $\rho(A)\le\|A\|$。因此 $\|A\|<1$ 是幂收敛的充分条件，而不是必要条件。

矩阵幂收敛的判据

$$ \lim_{k\to\infty}A^k=0\quad\Longleftrightarrow\quad \rho(A)<1. $$

直观地，所有 Jordan 块都贡献形如 $k^s\lambda^k$ 的项；当 $|\lambda|<1$ 时指数衰减压过多项式因子。

反例：初始增大仍可收敛

$$ A=\begin{bmatrix}0.5&100\\0&0.5\end{bmatrix},\qquad \rho(A)=0.5<1,\qquad \|A\|_\infty=100.5. $$

虽然 $\|A\|_\infty>1$，但 $A^k\to0$；非正规矩阵可能出现很强的暂态放大。

自检问题

• 为什么“所有特征值不超过1”还不足够？若 $\rho(A)=1$，有的 $A^k$ 不趋零。
• 如果 $A$ 幂零（$A^m=0$），其谱半径是多少？答案为零。

课件出处

5-1.pdf，第 27—45 页。