右极分解

任意复方阵 $A\in\mathbb C^{n\times n}$ 均可写成：

$$ A=UH,\qquad U^*U=I,\qquad H=(A^*A)^{1/2}\succeq0. $$

若 $A$ 可逆，则 $H\succ0$ 且 $U=AH^{-1}$ 唯一；若 $A$ 奇异，满足上述形式的酉因子 $U$ 一般不唯一。

从 SVD 构造

取 $A=W\Sigma V^*$（完整 SVD），则：

$$ U=WV^,\qquad H=V\Sigma V^,\qquad A=UH. $$

与 Schur / SVD 区分

• Schur：$A=UTU^*$，酉相似变换，$T$ 为三角矩阵。
• SVD：$A=W\Sigma V^*$，左右两侧可以是不同酉矩阵。
• 极分解：$A=UH$，$H$ Hermitian 正半定，类似复数的幅角与模长拆分。

课件出处

4-1.pdf，第 51—55 页。