定义与关系

若非零多项式 $p(x)$ 满足 $p(A)=0$，称 $p$ 为 $A$ 的化零多项式。

Cayley–Hamilton 定理：令 $\chi_A(\lambda)=\det(\lambda I-A)$，则 $\chi_A(A)=0$。

最小多项式 $m_A$ 是次数最低、首一的化零多项式，而且唯一。任何化零多项式都能被 $m_A$ 整除。证明：对 $p$ 除以 $m_A$ 得余数 $r$，则 $r(A)=0$ 且 $\deg r<\deg m_A$，故 $r=0$。

最大 Jordan 块口诀

若特征值 $\lambda_i$ 对应 Jordan 块的最大阶数为 $d_i^{\max}$，则

$$ m_A(\lambda)=\prod_{\lambda_i\ \mathrm{不同}}(\lambda-\lambda_i)^{d_i^{\max}}. $$

例：$J=\operatorname{diag}(J_2(3),[3],[5])$，则

$$ \chi_J(\lambda)=(\lambda-3)^3(\lambda-5),\quad m_J(\lambda)=(\lambda-3)^2(\lambda-5). $$

最小多项式关心的是每个特征值的最长 Jordan 链，特征多项式关心该特征值的全部代数重数。

常见推论

• 相似矩阵具有相同的最小多项式。
• 矩阵可对角化当且仅当其最小多项式在讨论数域上分解为互异的一次因子。
• 对分块对角矩阵，最小多项式是各块最小多项式的最小公倍式。

原课件第12–21页。