对于 $x\in\mathbb C^n$，典型范数：
$$ \|x\|_1=\sum_i|x_i|,\quad\|x\|2=\sqrt{\sum_i|x_i|^2},\quad\|x\|\infty=\max_i|x_i|. $$
一般 $p$ 范数（$p\ge1$）由 Minkowski 不等式保证三角不等式，Hölder 不等式刻画对偶关系。
设 $A\in\mathbb C^{m\times n}$。诱导范数定义：
$$ \|A\|p=\max{x\ne0}\frac{\|Ax\|_p}{\|x\|_p}. $$
几个常用的可计算公式：
$$ \|A\|1=\max_j\sum_i|a{ij}|,\qquad \|A\|\infty=\max_i\sum_j|a{ij}|,\qquad \|A\|2=\sigma{\max}(A). $$
Frobenius 范数是元素平方和：
$$ \|A\|F=\sqrt{\sum{i,j}|a_{ij}|^2}=\sqrt{\operatorname{tr}(A^*A)}=\sqrt{\sum_k\sigma_k(A)^2}. $$
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