核心定义

给定线性无关列向量 $a_1,\ldots,a_r\in\mathbb C^m$，构造标准正交向量 $q_1,\ldots,q_r$。复空间使用共轭转置 $q_j^*$（不是普通转置）；实空间可写 $q_j^T$。

正交化公式（Notion 数学块）

$$ u_k=a_k-\sum_{j=1}^{k-1}q_j(q_j^*a_k),\qquad q_k=\frac{u_k}{\|u_k\|_2}. $$

每步都应检验 $u_k\ne0$；若原向量线性相关，则不能照此归一化。

把 $q_j$ 作为 $Q$ 的列，得到：

$$ Q^*Q=I_r,\qquad A=QR,\qquad R=Q^*A. $$

其中 $R$ 是上三角（列满秩情形，对角线非零）；这是 QR 分解与最小二乘的基础。

易错点

• 正交向量不一定是单位向量，须额外归一化。
• $Q^Q=I_r$ 不代表当 $m>r$ 时 $QQ^=I_m$；后者是列空间上的正交投影。
• 经典 Gram–Schmidt 在浮点运算中会损失正交性，数值计算常用改进 Gram–Schmidt 或 Householder 反射（补充辨析）。

关系

先修：引入内积：给线性空间增加几何结构。延伸：QR 分解与最小二乘的稳定计算。

课件出处

3-1.pdf，第 21—37 页。