矩阵函数 $f(A)$ 是通过谱结构/矩阵多项式定义，不是对 $A$ 逐元素套函数。
若 $m_A(\lambda)=\prod_{i=1}^s(\lambda-\lambda_i)^{d_i}$，且 $f$ 在每个特征值处具有 $0,\ldots,d_i-1$ 阶导数，则可构造满足
$$ p^{(k)}(\lambda_i)=f^{(k)}(\lambda_i), \quad k=0,\ldots,d_i-1 $$
的 Hermite 插值多项式 $p$，次数可取小于 $\deg m_A$，定义 $f(A)=p(A)$。不同的插值多项式如果相差 $m_A$ 的倍数，得到相同矩阵值。
对 $J_{\lambda_i}=\lambda_i I+N_i$：
$$ f(J_{\lambda_i})=\sum_{k=0}^{d_i-1}\frac{f^{(k)}(\lambda_i)}{k!}N_i^k,\qquad f(A)=P\,\mathrm{diag}(f(J_{\lambda_i}))P^{-1}. $$
例如 $J=\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}$，则
$$ e^{tJ}=e^t\begin{pmatrix}1&t\\0&1\end{pmatrix},\qquad \sin J=\begin{pmatrix}\sin1&\cos1\\0&\sin1\end{pmatrix}. $$
$f(x)=1/(x-3)$ 在谱包含 3 的矩阵上未定义，不能机械地算矩阵的逐元素倒数；若谱不含 3，才可考察 $f(A)=(A-3I)^{-1}$。重复特征值伴随非平凡 Jordan 块时，必须匹配导数而不只是函数值。