广义 Hermitian 特征值问题

令 $A=A^$，$B=B^\succ0$。考虑 $Av=\lambda Bv$。由于 $B^{-1/2}$ 存在，可构造普通 Hermitian 矩阵：

$$ C=B^{-1/2}AB^{-1/2}=C^*. $$

令 $u=B^{1/2}v$，则原问题等价于 $Cu=\lambda u$，所以广义特征值全部为实数，并可选取满足 $v_i^*Bv_j=\delta_{ij}$ 的广义特征向量。

Rayleigh 商

一般 Hermitian 矩阵的 Rayleigh 商是：

$$ R_A(x)=\frac{x^*Ax}{x^*x},\quad x\ne0,\qquad \lambda_{\min}\le R_A(x)\le\lambda_{\max}. $$

广义形式为：

$$ R_{A,B}(x)=\frac{x^*Ax}{x^*Bx},\quad x\ne0, $$

其中分母恒正；其最小和最大值分别是广义特征值的最小和最大值。

易错点

• $B$ 仅可逆但不正定，便不能直接保证广义特征值全为实数。
• Rayleigh 商中的 $x^*Ax$ 与 $x^*Bx$ 是标量；要注意复向量的共轭转置。
• 区分广义 Hermitian 对的合同化简与任意矩阵的相似对角化。

课件出处

3-2.pdf，第 62—73 页。