定义

设 $A=A^*\in\mathbb C^{n\times n}$，其二次型是实数。正定要求：

$$ x^*Ax>0\quad\text{对每一个 }x\ne0. $$

等价的两个常用判据：

$$ A\succ0\quad\Longleftrightarrow\quad \lambda_i(A)>0\;(\forall i) \quad\Longleftrightarrow\quad \det A_{1:k,1:k}>0\;(k=1,\ldots,n). $$

最后一项是 Sylvester 判据：只检查从左上角开始的顺序主子式。

平方根

正定 Hermitian 矩阵可酉对角化 $A=U\Lambda U^*$，且存在唯一 Hermitian 正定平方根：

$$ A^{1/2}=U\operatorname{diag}(\sqrt{\lambda_1},\ldots,\sqrt{\lambda_n})U^*,\qquad (A^{1/2})^2=A. $$

易错辨析

• 正定判据仅适用于 Hermitian 实二次型；一般非 Hermitian 方阵不能直接用 Sylvester 判据。
• 半正定时，所有特征值非负；只要求顺序主子式非负并不足以判定半正定，需检查所有主子式非负（Hermitian 情形）。
• 主子式和顺序主子式不是同义词。

课件出处

3-2.pdf，第 35—61 页。