若 $f(x)=a_mx^m+\cdots+a_1x+a_0$，定义
$$ f(A)=a_mA^m+\cdots+a_1A+a_0I. $$
若 $A=PJP^{-1}$，则对所有自然数 $k$ 有 $A^k=PJ^kP^{-1}$，所以
$$ f(A)=Pf(J)P^{-1}. $$
令大小为 $d$ 的 Jordan 块 $J_\lambda=\lambda I+N$，其中 $N^d=0$、超对角为 1。因为 $N$ 与 $\lambda I$ 可交换，二项式展开后：
$$ f(J_\lambda)=\sum_{k=0}^{d-1}\frac{f^{(k)}(\lambda)}{k!}N^k. $$
例如 $d=3$：
$$ f(J_\lambda)=\begin{pmatrix} f(\lambda)&f'(\lambda)&f''(\lambda)/2\\ 0&f(\lambda)&f'(\lambda)\\ 0&0&f(\lambda) \end{pmatrix}. $$
本质：非对角化时只知道 $f(\lambda)$ 不够，还需最高到块大小减 1 阶的导数。对于所有特征值，$f(A)$ 的特征值是 $f(\lambda_i)$（计代数重数），但这不等于每个矩阵元素直接代入特征值。
$J=\begin{pmatrix}2&1\\0&2\end{pmatrix}$、$f(x)=x^2$，则 $f(2)=4$、$f'(2)=4$，故 $J^2=\begin{pmatrix}4&4\\0&4\end{pmatrix}$。忽略导数只写 $4I$ 就错了。