对方阵 $A$，如果已从初等因子或 $\operatorname{rank}(A-\lambda I)^j$ 判定了 Jordan 块 $J_k(\lambda)$ 的大小，还要找到可逆矩阵 $P$ 使

$$ P^{-1}AP=J\quad\Longleftrightarrow\quad AP=PJ. $$

课件第9–19页通过比较 $AP$ 与 $PJ$ 的列，把问题变成线性方程组。

Jordan 链的定义与构造

若 $J_k(\lambda)$ 的超对角线上为 1，对应的 $P$ 列向量须满足

$$ (A-\lambda I)v_1=0,\qquad (A-\lambda I)v_j=v_{j-1}\quad(j=2,\ldots,k). $$

$v_1$ 是真正的特征向量；$v_2,\ldots,v_k$ 称为广义特征向量。可以从满足 $(A-\lambda I)^kv_k=0$ 但 $(A-\lambda I)^{k-1}v_k\ne0$ 的最高级链向量开始反推：

$$ v_{k-1}=(A-\lambda I)v_k,\ \ldots,\ v_1=(A-\lambda I)^{k-1}v_k. $$

同一个特征值可能有几条链，所有链需合起来线性无关，才保证 $P$ 可逆。

课件算例：一个 1 阶块和一个 2 阶块

若 $J=\operatorname{diag}(1,J_2(2))$ 且 $P=[v_a,v_1,v_2]$，列方程是

$$ (A-I)v_a=0,\quad(A-2I)v_1=0,\quad(A-2I)v_2=v_1. $$

课件第11–13页选到 $v_a=(0,1,0)^T$、$v_1=(5,0,3)^T$、$v_2=(2,0,1)^T$；以此构造 $P$。实际做题需代回验证 $AP=PJ$。

最容易犯的错误

  1. 随便取特征空间基向量当链头：若 $v_1\notin\operatorname{Im}(A-\lambda I)$，则 $(A-\lambda I)v_2=v_1$ 无解。课件第17–19页就给了反例，应先检查增广矩阵秩。
  2. 搞反向量顺序：$J_k(\lambda)$ 上超对角为 1 时，列序必须为 $v_1,v_2,\ldots,v_k$；顺序反了会使 $AP\ne PJ$。
  3. 漏检可逆性：各链之间独立是关键，不能只保证每条链单独成立。

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