知识依据：官方教学资料（MIT 6.011: Problem Set 6 MMSE/LMMSE）。本节点为结合资料独立整理的课程讲解，并非官方材料逐字摘录。

概念与适用条件

在平方损失下，全部可测估计器中的最优估计是条件期望；最小均方误差不一定要求无偏。

核心推导与注意事项

设随机变量 $X$ 与观测 $Y$ 具有有限二阶矩，使用平方误差损失。对任何平方可积的观测函数 $g(Y)$，条件期望的正交分解给出：

$$ \mathbb E[(X-g(Y))^2]=\mathbb E[(X-\mathbb E[X\mid Y])^2]+\mathbb E[(\mathbb E[X\mid Y]-g(Y))^2] $$

等式中第二项非负，因而选择 $g(Y)=\mathbb E[X\mid Y]$ 使均方误差最小。

误差的正交性不仅针对 $Y$ 本身，而且针对任意平方可积的 $h(Y)$：

$$ \mathbb E[(X-\mathbb E[X\mid Y])h(Y)]=0 $$

注意这里 $X$ 是随机量；最小均方误差不自动要求经典统计意义上的“对未知确定参数无偏”。当 $X,Y$ 联合高斯时，条件期望为仿射函数；一般分布不保证如此。

核心公式

$$ \boxed{\hat X_{\mathrm{MMSE}}=\mathbb E[X\mid Y]} $$

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