收敛定义

矩阵级数 $\sum_{k=0}^{\infty}B_k$ 收敛，指部分和矩阵逐元素收敛；有限维时等价于任一矩阵范数意义下收敛。

Neumann 级数

当且仅当 $\rho(A)<1$，矩阵几何级数收敛：

$$ \sum_{k=0}^\infty A^k=(I-A)^{-1}. $$

有限和恒等式：

$$ (I-A)\sum_{k=0}^{N}A^k=I-A^{N+1}. $$

因为 $A$ 与多项式 $I-A$ 交换，左右乘均成立。由 $A^{N+1}\to0$ 得无穷和公式。

一般矩阵幂级数

如果标量幂级数 $f(z)=\sum_{k=0}^\infty c_kz^k$ 的收敛半径为 $R$，则 $\rho(A)<R$ 保证矩阵级数 $\sum_{k=0}^\infty c_kA^k$ 绝对收敛。边界 $\rho(A)=R$ 的情形必须单独判别，不能一概成立。

易错点

$\|A\|>1$ 也可能 Neumann 级数收敛，例如幂零矩阵；关键充要条件是 $\rho(A)<1$，而非固定选取的范数小于1。

课件出处

5-1.pdf，第 46—72 页。