知识依据：官方教学资料（MIT 6.432: R3 Gaussian tests / R4 ROC）。本节点为结合资料独立整理的课程讲解，并非官方材料逐字摘录。

概念与适用条件

方差相等的二元高斯模型具有单调似然比，可用观测阈值实现 N-P 检测；ROC 是各阈值对应的检测率与虚警率轨迹。

核心推导与注意事项

考虑等方差高斯二元假设检验：

$$ H_0:X\sim\mathcal N(0,\sigma^2),\qquad H_1:X\sim\mathcal N(\mu,\sigma^2),\quad \mu>0 $$

其对数似然比为：

$$ \ln\Lambda(x)=\frac{\mu}{\sigma^2}x-\frac{\mu^2}{2\sigma^2} $$

由于 $\mu>0$，对数似然比随 $x$ 单调增大，可以使用阈值检测：$X>\gamma$ 判为 $H_1$。令 $Q(z)=P(Z>z)$，其中 $Z\sim\mathcal N(0,1)$，则：

$$ P_{\mathrm{FA}}=Q\!\left(\frac{\gamma}{\sigma}\right),\qquad P_{\mathrm{D}}=Q\!\left(\frac{\gamma-\mu}{\sigma}\right) $$

若 Neyman–Pearson 准则要求 $P_{\mathrm{FA}}=\alpha$，则 $\gamma=\sigma Q^{-1}(\alpha)$；调低阈值通常同时提高检测概率和虚警概率，不是只增加检测率。

核心公式

$$ \boxed{P_{\mathrm D}=Q\!\left(Q^{-1}(P_{\mathrm{FA}})-\frac{\mu}{\sigma}\right)} $$

审核提示：后续出题时注意检查本节点的模型假设与边界条件；目前状态为「待校对」。