任意复方阵 $A\in\mathbb C^{n\times n}$ 均有酉矩阵 $U$，使得：
$$ U^*AU=T,\qquad T\text{ 为上三角矩阵},\qquad T_{ii}=\lambda_i(A). $$
这只保证三角化，并不保证对角化，也不要求 $A$ 本来可对角化。
$$ A^A=AA^\quad\Longleftrightarrow\quad A=U\Lambda U^*,\quad U^*U=I. $$
所以 Hermitian、酉矩阵等都是正规矩阵；但一般正规矩阵不必为 Hermitian。
对任意方阵的特征值 $\lambda_1,\ldots,\lambda_n$：
$$ \sum_{i=1}^n|\lambda_i|^2\le \operatorname{tr}(A^*A)=\|A\|_F^2. $$
等号成立当且仅当 $A$ 正规：在 Schur 形式中，上三角非对角元素的平方模之和恰好是差值。
“可相似对角化”与“可酉相似对角化”不是同一件事；后一种当且仅当矩阵正规。
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