来源：‣（矩阵分析｜分章节 → Smith 标准形：最低次数枢轴与最大公因式）
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找最低次数的非零元素是化简的起点；通过多项式除法和行、列变换继续降低枢轴次数，最终得到能整除所有元素的首一最大公因式，作为第一项 $d_1$。求完整 Smith 标准形，还要继续处理剩余子矩阵。
AI 补充｜枢轴的意思：枢轴是当前用来做除法和消元的基准非零元素。在 Smith 算法中，将它换到当前子矩阵的左上角，再用它消去同一行、列的其他元素；它可以是多项式，且会随余式的出现而更换。
课件内容：非零 $m\times n$ 型 λ-矩阵等价于对角形矩阵，其非零对角项为首一多项式，并满足整除链：
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$$ S(\lambda)=P(\lambda)A(\lambda)Q(\lambda) =\operatorname{diag}(d_1(\lambda),\ldots,d_r(\lambda),0,\ldots,0), \qquad d_i\mid d_{i+1}. $$
$F$ 为数域，$A(\lambda)\in F[\lambda]^{m\times n}$，$r=\operatorname{rank}A(\lambda)$；长方形情形的 $\operatorname{diag}$ 表示相同尺寸的对角形矩阵。$P,Q$ 是分别进行行、列变换得到的多项式可逆矩阵；这是矩阵等价变换。
课件原页：$D_k$ 是全部 $k$ 阶子式的首一最大公因式，称为 $k$ 阶行列式因子；$d_i$ 称为不变因子。
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$$ D_0=1,\qquad d_1=D_1=\operatorname{monic\,gcd}\{a_{ij}(\lambda)\}, \qquad d_k=\frac{D_k}{D_{k-1}}\quad(1\le k\le r). $$
证明与计算｜为什么第一项是所有元素的最大公因式？
设 $g(\lambda)$ 为矩阵所有元素的首一最大公因式。一次合法初等行、列变换得到的新元素，都是旧元素的多项式线性组合，所以 $g$ 整除每个新元素。